Har vi riktig kurs??!!

Dr?mmene v?re om Armando blir bare?vakrere og vakrere?for hver dag som g?r, og det gr?nne landskapet str?ler mot oss! Det kiler ordentlig i magen etter ? puste inn frisk luft, g? p? solid grunn, kjenne vinden i h?ret... Vi m? derfor forsikre oss om at vi faktisk klarer ? komme fram!! Det er ikke en enkel sak akkurat, men vi har et godt utgangspunkt.?M?let v?rt er ? komme i bane rundt Armando, f?r vi til slutt forh?pentligvis gj?r en myk landing. Dette krever n?yaktige beregninger, s? vi kan ikke bare satse p? at vi treffer riktig kurs p? f?rste fors?k!?I del 4 beregnet vi posisjonen og farten til Armando rett etter oppskytning og ut ifra det skal vi jo i teorien kunne gj?re en simulering av banen til TORTA fra Thestral til Armando. Dere husker kanskje fra del 1 hvordan vi kunne numerisk integrere fart med Euler-metoden for ? finne strekningen? Hvis ikke m? dere gjerne trykke her!?Med liknende framgangsm?te som i del \(1\), ved ? integrere farten, kan vi lage oss noen prognoser for banen til TORTA.

F?rst er det viktig at vi forteller litt om selve oppskytningen. Det er nemlig to sentrale faktorer som vi m? hensyn til her: Tidspunkt for oppskytning og posisjonen p? Thestral. Hvordan skal vi velge tiden for oppskytning? Den har vi valgt til ? v?re tidspunktet hvor avstanden mellom Armando og Thestral er minst. Slik s?rger vi for at turen ikke blir s? lang! Planetbanene har vi simulert allerede, s? ? finne dette tidspunktet er en enkel sak.

Fra simuleringene v?re f?r vi at tidspunktet hvor Armando og Thestral er n?rmest hverandre er ved \(t\approx 77.67 \) ?r! Heldigvis m?tte vi ikke vente nesten 78 ?r for ? skyte opp, dette nullpunktet for tiden er nemlig definert p? en rar m?te innenfor rakettforskningen p? Thestral: Den er definert som ?ret vi klarte ? gjennomf?re den f?rste vellykkede rakkettoppskytningen! Det har n? blitt litt under 78 ?r siden... Oi, tiden g?r fort.

Hva med utgangsvinkelen da? Denne var litt vanskeligere ? beregne. Vi visste at vinkelen kom til ? bli avgj?rende for hvilken kurs vi fikk etter oppskytning, s? denne m?tte vi velge med omhu! En fristende tanke var at vi burde skyte opp fra Thestral slik at TORTA pekte rett mot Armando ved oppskytning. Men da vi simulerte den potensielle banen til TORTA, inns? vi fort at vi ikke kunne gj?re det s?nn! Her la vi ogs? merke til en interessant ting!

Selv om TORTA peker rett mot Armando ved startposisjonen, ser kursen ut til ? peke en heelt annen vei! Er det noe fundamentalt galt med simuleringen v?r? Nei, mest sannsynlig er dette faktisk riktig, kan dere skj?nne hvorfor? Det er fort gjort ? glemme det, men her m? vi huske p? hvilken fart hele Thestral har! Planeten beveger seg jo b?de gjennom rommet og roterer om sin egen akse! Disse to hastighetskomponentene gj?r at utgangskursen til TORTA dyttes oppover, og vi f?r en bane som ender opp over destinasjonsplaneten!?

Sluttposisjonen i figur 2 er likevel ikke forferdelig d?rlig heller - vi ender opp noks? n?rt Armando. Dette kommer av en tredje hastighet vi m? ta hensyn til, nemlig hastigheten Armando beveger seg gjennom rommet med! Husker dere da vi brukte Keplers 3. lov for ? finne periodetiden til planetenes bane rundt sola? Da fant vi i hvert fall ut at Armando har en periodetid p? 11.7 ?r, og at Thestral har en periodetid p? 7.2 ?r. Vi kjenner ogs? til store halvakse i banene:

• Thestral: Store halvakse 5.1 AU; Perodetid? 7.2 ?r
• Armando: Store halvakse 7.0 AU; Periodetid 11.7 ?r

Dette gir gjennomsnittlig banefart p?:

• Thestral: \(\approx 4.45 \)AU/?r
• ?Armando: \(\approx 3.76 \)AU/?r

S? Thestral beveger seg fortere gjennom rommet enn Armando, noe vi m?tte ta h?yde for da vi skj?t opp fra Thestral. Hvis vi justerer utgangsvinkelen litt, s? TORTA skytes opp med utgangsvinkel p? \(-\frac{\pi}{3}\), ser vi at vi n?rmer oss Armando!

?

Vi endrer litt mer p? utgangsvinkelen, slik at vi peker enda mer nedover. I forhold til x-aksen har TORTA n? en utgangsvinkel p? \(-0.46\pi\) - vi st?r nesten p? S?rpolen!.?

Kursen begynner ? bli ganske bra, men det er tydelig at vi ikke er n?rme nok enda... Vi har i utgangspunktet to m?ter ? p?virke sluttposisjonen p?:

1. Endre utgangsvinkelen
2. Korrigere med rakettmotoren

N? som vi har justert en del p? utgangsvinkelen trenger vi bare en bitteliten dytt for ? treffe Armando perfekt... Det gj?r vi med korrigerende boosts!!?

N?r vi implementerer de korrigerende boostsene gj?r vi f?rst noen forenklinger. Vi antar at boosten skjer i et s? infinitesimalt lite ?yeblikk i forhold til hele reisen, at den praktisk talt skjer p? et blunk. Vi tar dermed ikke hensyn til tiden det tar ? utf?re en boost under rakettbane-simuleringen. MEN! En boost vil jo trenge drivstoff, og drivstoffmengden m?? vi ha kontroll p?! Vi kan jo ikke lande p? Armando uten rakettmotoren v?r... Vi m? derfor likevel beregne hvor lang tid det tar ? utf?re en boost, slik at vi kan ha kontroll p? drivstoffmengden ombord.?

?n m?te ? gj?re det p? er ved ? bruke formelen for impuls:

\(\Delta \vec{p} = \vec{F}\Delta t\)

Hvor \(\Delta \vec{p}=m_1\vec{v}_1-m_0\vec{v}_0\) er endringen i bevegelsesmengde, \(\vec{F} = \vec{F}_G + \vec{F}_S\), hvor \(\vec{F}_G\) er summen av kreftene fra planetene og solas tyngdekraft og?\(\vec{F}_S\) er skyvekraften fra rakettmotoren v?r, og \(\Delta t\) er tiden det tar ? utf?re den angitte boosten. Vi antar at \(\vec{F}_G\) er konstant under boosten. Her trenger vi ogs? ? vite hvor mange kg drivstoff motoren bruker per tidsenhet, \(b\) (b for bruk). Dette fant vi i del 1 av bloggen! N?r vi setter inn, med \(b\), \(m_0\), \(\vec{v}_0\) osv., f?r vi uttrykket:

\(m_1\vec{v}_1 - m_0\vec{v}_0 = \vec{F}\Delta t\)

\((m_0 - b\Delta t)(\vec{v}_0 + \Delta \vec{v})-m_0\vec{v}_0=\vec{F}\Delta t\)

Her kan vi l?se for \(\Delta t\) og beregne hvor mye drivstoff vi bruker p? en fartsboost p? \(\Delta \vec{v}\). For nysgjerrighets skyld sjekker vi hvor mye drivstoff vi bruker p? ? endre farten med \(\Delta \vec{v}=(0, -0.1)\) AU/?r:

• Brukt drivstoff \(\approx?0.0863 kg\)

Det var da veldig lite!! Er rakettmotoren v?r rett og slett legendarisk bra? Kan det stemme? Her b?r vi gjennomg? metoden og se om det er noen variabler som er uriktig store eller sm? avhengig av enheten.

• \([m_0]=kg\)
• \([ \Delta v]=AU/ \text{?r}\)
• \([F_G] = \frac{\text{solmasser}\cdot AU}{\text{?r}^2}\)
• \([F_S]=\frac{kg\cdot m}{s^2}\)
• \([b]=\frac{kg}{s}\)

Her ser vi fort at det er noe som ikke stemmer!! De to kreftene vi summerer sammen har ulik enhet: \(F_G\) er i AU-enheter og \(F_S\) er i SI-enheter! Noen st?rrelser har dessuten tid i sekunder og andre har tid i ?r... Dette m? vi rette opp i med ¨¦n gang. Vi transformerer enhetene slik at alle masser er i kg, alle lengder er i AU og alle tider er i ?r.

Da f?r vi et helt annet tall for drivstofforbruket ved en liten boost p? \(\Delta \vec{v}=(0,-0.1)\) AU/?r:

• Drivstofforbruk \(\approx 66.28 kg\)

N? f?r vi et tall som virker mer realistisk! Vi ser hva som skjer n?r vi gj?r en liten boost. Ut ifra figur 5 vil vi gjerne ende opp bittelitt lenger ned, s? vi gj?r derfor en boost p? \(\Delta \vec{v}=(0, -0.1)\) AU/?r 0.2 ?r inn i romferden.

Oi, kommer vi ikke veldig n?rt n? da?!! Dette ser ikke s? verst ut, men hva er den faktiske avstanden mellom TORTA og midten av Armando? Vi f?r at den er p? \(d\approx?0.00842 AU\). Dette tilsvarer omtrent 1.3 millioner km!! Det er jo veldig mye... Her m? vi imidlertid huske p? en sentral ting: TORTA beveger seg jo ogs? veeeldig fort gjennom rommet. Ved dette tidspunktet har den en fart p?

\(\vec{v}_{TORTA}=(63777,?-1223) km/t\). Med en slik fart er vi i praksis ikke lenger unna Armando enn noen f? dager med reise! Avstanden er dermed ikke s? altfor stor alts?. Dette ser vi ogs? tydelig n?r vi sammenlikner med en viktig st?rrelse:

\(l=|\vec{r}|\sqrt{\frac{M_p}{10M_s}}\)

Denne avstanden?\(l\) mellom Armando og TORTA, er avstanden hvor tyngdekraften fra Armando er 10 ganger st?rre enn tyngdekraften fra sola.?Her er \(|\vec{r}|\) avstanden mellom TORTA og sola, \(M_p\) er massen til Armando og \(M_s\) er massen til sola. Ved denne avstanden er vi n?rt nok til ? gj?re en viktig baneman?vrering for ? komme oss i bane rundt Armando. Vi utledet denne formelen i del 3! Vi finner ut at \(l\) ved dette tidspunktet er?\(l \approx?0.00424 AU\), alts? omtrent halvparten av den avstanden vi fant at det var mellom TORTA og Armando. Vi kan zoome litt mer inn p? figur 6 for ? sjekke hvilken retning vi m? justere i!

?Vi ser at sluttposisjonen er for h?yt over Armando, og m? derfor booste mer i negativ y-retning! N? setter vi \(\Delta \vec{v} =(0, -0.111) \) AU/?r.?

Da f?r vi at avstanden mellom Torta og Armando ved sluttidspunktet er?

\(d\approx?0.00384 AU<l\approx 0.00425 AU\)

If?lge simuleringen er vi alts? innenfor avstanden \(l\) n?r vi booster i negativ y-retning,? \(\Delta \vec{v} =(0, -0.111) AU/?r\) 0.2 ?r inn i romferden.

?

?

?

Alt dette ser jo veldig lovende ut, men hvor sikre kan vi v?re p? at banen i figur 6 er n?yaktig og realistisk?

Det som kanskje er det mest sentrale n?r det gjelder n?yaktigheten, er tidsstegene vi simulerer rakettbanen over. Her har vi simulert 0.65 ?r med tidssteg p? 0.00005 ?r. 0.00005 ?r tilsvarer omtrent 26 minutter, s? hvert 26 minutt gj?r vi en beregning av TORTAs posisjon. Hvorvidt dette er et lite nok intervall er i stor grad avhengig av hvilken fart det vi simulerer har, og hvor stor avstand det skal bevege seg. Hvis vi skal simulere en 100-metersprint gir det jo ikke mening ? simulere den med tidssteg p? 26 minutter! For en rakettbane som varer i over 6 m?neder kan det derimot gi mer mening. Etter oppskytning har TORTA en fart p? \(\vec{v}=(4.67, -1.50)\) AU/?r. I l?pet av et tidssteg p? \(\Delta t=0.00005\) ?r, har alts? TORTA beveget seg en avstand p?:

\(\Delta s=\sqrt{(4.67\cdot \Delta t)^2+(-1.50\cdot \Delta t)^2}\approx?2.46\cdot 10^{-4}\) AU

Dette tilsvarer rundt?36763?km!! S? i l?pet av kun ett tidssteg har TORTA forflyttet seg 36763?km... Da virker jo ikke \(\Delta t=0.00005\) ?r som et lite nok tidssteg? F?r vi konkluderer med noe, m? vi ogs? se p? strekninen vi skal bevege oss. Hvis 36763?km kun er en bitteliten br?kdel av hele reisen, er det jo ikke s? farlig at tallet er s?pass stort. Avstanden mellom Thestral og Armando ved t=77.67 ?r er rundt 1.84 AU. 36763?km utgj?r dermed?0.000134?av hele ferden. Sagt p? en annen m?te: Det utgj?r omtrent 13 hundretusendeler av hele ferden:?\(\frac{13}{100000}\). Det er jo ikke s? mye akkurat! S? under hoveddelen av reisen er kanskje \(\Delta t = 0.00005 \) ?r lite nok. Dette endrer seg derimot n?r vi n?rmer oss Armando. Da kommer vi jo til ? m?tte finjustere posisjonen, og blir helt avhengige av ? kjenne rakettens posisjon over mye mindre tidsintervaller.?

Det er riktignok ikke bare tidsstegene vi bruker i rakettsimuleringen som er avgj?rende for n?yaktigheten, men ogs? hvordan vi beregner posisjonen til de andre planetene. Raketten trekkes jo av gravitasjonen deres, s? for ? beregne en realistisk rakettakselerasjon er det avgj?rende at vi kjenner planetposisjonene i stor detalj! Dette er dessuten ikke bare viktig for akselerasjonsberegningen, men ogs? n?r vi skal visualisere innflyvningen mot Armando i simuleringene v?re. Da m? vi beregne planetposisjonen over korte tidssteg, slik at Armando ikke "spretter" forbi oss fra det ene tidssteget til det andre!

Her bruker vi de simulerte banene fra del 2, hvor planetenes posisjon beregnes med tidssteg p? \(\Delta t=0.0001\) ?r. Hvis vi antar at Armando har den konstante banefarten vi beregnet litt ovenfor i innlegget, beveger planeten seg?56249 km per tidssteg! N?r vi n?rmer oss Armando er vi derimot helt avhengige av ? kjenne til planetens posisjon i st?rre detalj enn dette, s? vi m? finne en m?te ? redusere dette tidssteget p?... Vi legger dessuten merke til at tidssteget for planetene er dobbelt s? stort som tidssteget for rakettbanen, som i praksis betyr at vi for annenhver posisjonsberegning for raketten?ikke?har en tilsvarende posisjon for planetene!

Hva gj???r vi da?? Ikke fortvil, de ovennevnte problemene kan vi nemlig l?se p? samme m?te: Med interpolasjon! Interpolasjon handler i praksis om ? gj?re "sp?dommer" om et fenomen. Vi bruker interpolasjon i mange ulike settinger, som n?r vi vil fylle tomrom i datasett vi har, eller pr?ve ? forutsi hvordan noe kommer til ? utvikle seg i fremtiden. I v?rt tilfelle bruker vi interpolasjon for ? fylle de sm? tomrommene i planetbanene mellom to tidspunkt. Hvis vi har et tidspunkt \(t_0\), etterfulgt av tidspunktet \(t_1\), kan vi faktisk sp? hvor planeten omtrent befinner seg ved tiden \(t_{0.5}\)! Dette gj?r vi med line?r interpolasjon!

Da trekker vi en rett linje mellom de to kjente posisjonene, og finner midtpunktet p? linja. Deretter tegner vi planeten i dette punktet, og bruker denne posisjonen n?r vi gj?r neste beregning av akselerasjonen. Metoden beskrevet over gjelder n?r vi interpolerer annethvert tidssteg, men det g?r ogs? an ? dele linja mellom de to posisjonene i flere punkter, slik at vi interpolerer over flere tidssteg. Dette er relevant ? gj?re dersom vi reduserer tidsstegene i rakettsimuleringen - da b?r vi interpolere over kortere intervaller, ikke bare midtpunktet mellom to posisjoner. Da ?ker vi n?yaktigheten! I simuleringen v?r implementerer vi derfor en interpolasjonsmetode som kan interpolere over vilk?rlig sm? tidssteg for rakettbanen.

Presisjon i beregningen av planetposisjonene er veldig viktig for det endelige resultatet, s? her b?r vi sjekke interpolasjonsmetoden v?r! Vi simulerer planetbanen over en veldig kort tidsperiode, bare 5 tidssteg, og sammenlikner de sanne posisjonene med de interpolerte posisjonene:

?

Det ser ut som at interpolasjonsmetoden v?r gj?r det den skal! Det var godt.

MEN! N? som vi fikk g? gjennom algoritmene v?re grundigere, oppdaget vi en stor feil i akselerasjonsberegningen... Vi tar ikke hensyn til gravitasjonskraften fra Thestral!!! Uffameg, dette kommer jo til ? endre banen fullstendig.

?

Den resulterende banen blir helt annerledes, og vi bommer fullstendig p? Armando... N? m? vi tilbake til utgangspunktet og revurdere oppskytningsposisjonen p? Thestral. Vi h?per dere ikke blir frustrerte av at vi inkluderer feilene vi gj?r i blogginleggene, men de er tatt med bevisst! Slik l?rer dere forh?pentligvis at man alltid m? v?re kritisk til resultatene man f?r, og g? gjennom algoritmene sine grundig flere ganger. Tenk om vi ikke hadde sjekket n?ye nok! Da hadde vi jo aldri kommet oss til Armando...?

Her var det bare for oss ? brette opp ermene og beregne en ny og riktig kurs. Da ble vi oppmerksomme p? nok en stein i skoa... F?lg med videre! Klarer vi ? n? Armando til slutt????