Wow. TORTA flyr som en vakker stjerne! Oppskytningen var en bittelitt turbulent, men n? har vi endelig klart ? slippe ut av Thestrals tyngdefelt. Dere lurer kanskje p? hvordan vi fant ut hvilken fart vi m?tte n?? Eller hvordan vi kunne v?re sikre p? at motoren ga oss nok kraft? Vi er p? saken og skal fortelle dere dette imens TORTA er p? vei ut av atmosf?ren til Thestral.
Greia er at v?r TORTA trenger ? n? en s? stor fart at den slipper unna Thestrals enorme tyngdekraft. Thestral vil dessverre ikke gi slipp p? TORTA, og helt ?rlig hvem ville gitt slipp p? v?r amazinge rakett. For ? finne ut hvor stor v?r unnslipningshastighet skal bli, ser vi litt n?rmere p? energien.
Energi kan bety mye forskjellig. N?r Davy G kommer med en medium kylling bianca pizza uten hvit saus med ekstra tomatsaus og litt chilli flakes til prof.Elmi, skal jeg love dere at energien i rommet smeller. Men n? tenker vi p? energi innenfor fysikken. N?r TORTA letter f?r den en kinetisk energi. Det er dere godt kjent med fra f?r: Et legeme i bevegelse vil ha en kinetisk energi gitt ved formelen \(E_k=\frac{1}{2}mv^2\). Dere er kanskje ogs? kjent med at den totale mekaniske energien til et legeme er gitt ved
\(E=E_k+E_p=\frac{1}{2}mv^2+mgh\)
Hvor \(m\) er massen til legeme, \(v\) er dets fart, \(g\) er tyngdeakselerasjon og \(h\) h?yden over et nullpunkt.
Ting endrer seg imidlertid n?r vi driver med rakettforskning. Her er nemlig den potensielle energien definert ved \(E_p=-\gamma \frac{Mm}{r}\), hvor \(\gamma\) er gravitasjonskonstanten, \(M\) er massen til planeten, \(m\) er massen til legemet og \(r\) er avstanden fra Thestrals kjerne til legemet. Dette uttrykket for potensiell energi er negativt fordi vi setter nullpunktet uendelig langt borte! Det er ikke alle som er vant til ? skrive den potensielle energien som \(-\gamma\frac{Mm}{r}\), men heller som \(mgh\). Grunnen til at vi ikke bare bruker \(mgh\), er at den bare funker fint noen f? meter over overflaten, hvor tyngdekraften er tiln?rmet konstant. Men TORTA skal ikke bare fly noen f? meter over bakken, den skal jo escape Thestral! Tyngdekraften blir dermed ikke konstant, den blir svakere og svakere jo lenger unna Thestral vi kommer!
La oss sette dere i en ny vakker tankeprosess for ? skj?nne
\(E_p=-\gamma\frac{Mm}{r }\).
Se for deg at du ligger ? sover en vakker fredagskveld. Du har den perfekte dr?mmen og puten din er kald p? begge sider. MENNNN… s? skjer det. Det vi alle frykter, et mareritt om matematiske funksjoner. Du pr?ver ? l?pe vekk fra funksjonsuttrykkene, men det er et uttrykk du ikke slipper unna. Det er jo en andregradslikning!!! Du faller ned andregradslikningen og sitter fast p? bunnpunktet. Heldigvis har du de mest BOLA legsa som fins, s? du starter ? l?pe opp. Du legger merke til at de f?rste meterne er kjempe tunge men n?r du beveger deg lenger og lenger opp fra bunnpunktet blir det lettere og lettere ? n? opp fra andregradslikningen. Dette er akkurat det samme som \(E_p=-\gamma\frac{Mm}{r }\) beskriver. N?r TORTA beveger seg vekk fra Thestral s? blir radiusen \(r\) st?rre og \(E_p\) blir mindre. Den kinetiske energien som kreves for ? komme seg vekk fra Thestral blir mindre. Akkurat det samme som det forferdelige marerittet. Det er derfor vi bruker en mer n?yaktig formel \(E_p=-\gamma\frac{Mm}{r}\). Denne formelen kommer fra Newtons gravitasjonslov : \(\gamma\frac{Mm}{r^2}\). \(\textbf{MEEEEEENN}\)broddaNW har sine hemmligheter. Han var velkjent i gatene, og ble frykta av mange. BroddaNW 澳门葡京手机版app下载et faktisk med Olsenbanden, og stjal denne likningen fra Robert Hook. Uansett om Newton stjal gravitasjonsloven fra Hook eller ikke, har vi f?tt et nytt, vakkert uttrykk for den mekaniske energien:
\(E=\frac{1}{2}mv^2-\gamma \frac{Mm}{r}\)
Den kinetiske energien til TORTA m? v?re like stor som den potensielle energien for at escape planen blir en suksess. Vi ser at TORTAs kinetisk energi er i en kraftig headlock av den gravitasjonelle potensielle energien, slik at den kinetiske energien m? v?re like stor eller st?rre for at TORTA kan komme seg ut fra headlocken! Det betyr at totalenergien m? v?re st?rre enn, eller lik null!
\(E=\frac{1}{2}mv^2-\gamma \frac{Mm}{r}=0\)
\( \frac{1}{2}mv^2=\gamma \frac{Mm}{r}\)
Det enste som trengs ? gj?re n? er ? f? \(v\) p? en side for seg selv. Da f?r vi at
\(v=\sqrt{2\gamma\frac{M}{r}}\)
Dermed har vi f?tt at unnslipningshastigheten vi m? n? for ? komme oss vekk fra Thestral: \(v=\sqrt{2\gamma\frac{M}{r}}\). Noe som er verdt ? merke seg er at massen til TORTA faktisk ikke har noe ? si p? hastigheten, alle legemer har samme unnslipningshastighet (med mindre man ser p? luftmotstanden).
Neste p? agenda er skyvekraften. Det er jo den kraften som faktisk skyver oss opp. Ser du hva vi gjorde der skyvekraft og ? bli skyvet opp… Skyvekraften er gitt ved
\(F_{skyvekraft}=\frac{\Delta{p}}{\Delta{t}}\).
\(\frac{\Delta{p}}{\Delta{t}}\)beskriver endringen i bevegelsesmengden n?r drivstoffet kommer ut fra raketten. I snitt s? vil endringen i bevegelsesmengde ut av TORTA v?re konstant, med det vil skyvekraften ogs? v?re konstant. Dere skal bli slukt inn i et nytt tankeprosess som skal f? dere til ? skj?nne skyvekraften litt bedre. Se for deg at du er p? en sk?ytebane, bare at denne gangen s? ville ikke kongen bli med. Lurer p? hvorfor??Trykk p? denne linken om dere ikke har f?tt med dere backstoryen:Trykkkkkk her!!!!
P? sk?ytebanen s? har du med deg masse padelballer, ogs? kaster du dem framover en etter en. Det som vil skje n?r du kaster en padelball er at du vil starte ? bevege deg i motsatt retning akkurat som n?r du dyttet Kongen. Desto st?rre fart du kaster ballen desto st?rre blir skyvekraften din, og desto tyngre tennisballene er desto st?rre blir skyvet. Dette er eksakt det samme som skjer med rakettmotoren bare at n? s? er det drivstoff og ikke padelball. En viktig ting ? merke seg er at siden vi har konstant endring i bevegelsesmengde per tidsenhet, blir skyvekraften konstant. Dette gj?r at akselerasjonen til raketten m? ?ke under oppskytning. Det kommer fra broddaNW’s andre lov
\(F_{skyvekraft} = ma \Rightarrow a=\frac{F_{skyvekraft}}{m}\)
Her er \(a\) akselerasjonen til raketten og \(m\) er massen til raketten.
\(F_{skyvekraft}\) er konstant, mens \(m\) blir mindre og mindre siden raketten mister masse! Ser dere da at akselerasjonen blir st?rre n?r \(m\) minker? Bra, da kan vi se p? farten til TORTA. Vi finner fram enda en bevegelseslikning:
\(v=v_0+a*dt\)
Hvor \(v\) er farten og \(a\) er akselerasjonen. Dere kjenner kanskje til at akselerasjon er endring i fart per tid? \(a=\frac{dv}{d t}\) gir oss videre at fartsendringen \(d v\) kan skrives som \(dv=a*dt\) (dette er fysiker-matte og vi elsker det).
Vi vet videre fra fysikk 1 at akselerasjonen er den deriverte til farten, \(v'=a\). Dersom vi ?nsker ? finne farten fra akselerasjonen, m? vi integrere akselerasjonen: \(v=\int adt\), og det er her vi igjen kan bruke Euler-metoden! Vi erstatter \(a\) med \(\frac{F_{skyvekraft}}{m}\):
\(v=v_0+\frac{F_{skyvekraft}}{m}*dt\)
Vi oppdaterer dermed farten til TORTA steg for steg helt frem til vi har n?dd unnslipningshastigheten!
Det f?les helt utrolig godt ? endelig forlate Thestral. Fra raketten kan vi for f?rste gang se den apokalyptiske verdenen vi én gang kalte v?r hjemplanet. Tusenvis av raketter bygget med v?r raketteknologi tar n? av og redder Thestrals befolkning fra en sikker undergang. Vi er ett steg n?rmere tilv?relsen som en interplanetarisk sivilisasjon! N? kan vi ikke lenger bare se universet fra referansesystemet til v?r lille planet, men ta mange skritt tilbake og betrakte TORTA fra solsystemets referansesystem. Fra denne synsvinkelen er det en del ting som endrer seg...
N? ser vi plutselig at hele Thestral har en hastighet i forhold til sola, og ikke nok med det, Thestral roterer om sin egen akse! Da vi tok av fra Thestral kunne vi ikke merke det p? kroppen, men TORTA opplevde disse hastighetene. Derfor m? vi ta hensyn til dem n?r vi skal finne posisjonen v?r relativt til hele solsystemet!
Vi ser f?rst p? posisjonen i x-retning. Vi finner endringen i x-retning p? samme m?te som vi simulerte gasspartiklene i kammeret - med Euler-metoden. Vi har at startposisjonen \(x_0\) er x-koordinaten til Thestral plusset med radiusen til planeten. Deretter oppdaterer vi posisjonen til TORTA relativt til solsystemet med Euler-metoden. For ? bruke Euler-metoden trenger vi i tillegg hastigheten i x-retning relativt til solsystemet. F?r oppskytning har TORTA samme x-hastighet som planeten, og under oppskytning ?kes denne farten med akselerasjonen til raketten multiplisert med endringen i tid. Farten er her i x-retning!
\(v_{solsystem}=v_{0solsystem}+a_{rakett}*dt\)
\(x_{solsystem}= x_{0solsystem}+v_{solsystem}*dt\)
Her er \(v_{solsystem}\) farten til TORTA relativt til solsystemet, \(v_{0solsystem}\) er farten til TORTA realtivt til solsystemet et lite ?yeblikk f?r, og \(a_{rakett}\) er akselerasjonen til raketten. Her vil \(v_{0solsystem}\) f?rst v?re lik x-komponenten til hastigheten til Thestral.
\(x_{solsystem}\) er x-koordinaten til TORTA relativt til solsystemet og \(x_{0solsystem}\) er x-koordinaten til TORTA relativt til solsystemet et lite ?yeblikk f?r. Her vil \(x_{0solsystem}\) f?rst v?re lik x-koordinaten til Thestral.
Vi finner y-koordinaten til TORTA p? liknende m?te. Vi plasserer posisjonen for oppskytning slik at Thestrals rotasjonsfart om egen akse kun gir TORTAs hastighet et bidrag i y-retning. I tillegg til rotasjonsfarten m? vi ogs? huske p? at Thestral har en hastighetskomponent i y-retning relativt til solsystemet. Vi f?r dermed at farten i y-retning er summen av disse fartskomponentene. Vi antar videre at farten i y-retning ikke p?virkes s? mye under oppskytning, slik at vi p? enkelt vis kan bruke vei, fart, tid for ? finne y-koordinaten n?r vi har n?dd unnslipningshastighet. Vi ganger den summerte hasigheten i y-retning med tiden det tar for TORTA ? n? unnslipningshastighet. N? er farten i y-retning:
\(y_{solsystem}=y_{thestral}+(v_{thestral}+v_{rotasjon})*t_{oppskytning}\)
N? vet vi hvor i solsystemet vi befinner oss! Wow, f?rste del av v?rt inerplanetariske eventyr er n? over. Vi har designet og bygget en fantastisk motor som klarte ? dytte oss og TORTA vekk fra Thestral. Klikk her for ? se resultatene fra oppskytningen!! Hvordan gjorde motoren det?