\documentclass[12pt,
               a4paper,
               article,
               oneside,
               oldfontcommands,
               norsk]{memoir}


\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[scaled]{beramono}
\usepackage[final]{microtype}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{babel}
\usepackage{csquotes}
\usepackage{listings}
\lstset{basicstyle = \ttfamily}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[colorlinks, allcolors = uiolink]{hyperref}


\renewcommand*{\chaptitlefont}{\Large\bfseries\sffamily\raggedright}
\setsecheadstyle{\large\bfseries\sffamily\raggedright}
\setsubsecheadstyle{\large\bfseries\sffamily\raggedright}
\setsubsubsecheadstyle{\normalsize\bfseries\sffamily\raggedright}
\setparaheadstyle{\normalsize\bfseries\sffamily\raggedright}
\setsubparaheadstyle{\normalsize\bfseries\sffamily\raggedright}
\setbeforesubsubsecskip{2ex}
\setaftersubsubsecskip{1ex}


\pretolerance = 2000
\tolerance    = 6000
\hbadness     = 6000


\renewcommand{\sfdefault}{phv}
\definecolor{uiolink}{HTML}{0B5A9D}


\declaretheorem[style = definition]{oppgave}


\begin{document}


\begin{titlingpage}
    \vspace*{-8em}
    \setlength{\parskip}{1.5ex plus 0.5ex minus 0.2ex}
    \setlength{\parindent}{0pt}

    \begin{flushright}
        \small\today
    \end{flushright}

    \begin{center}
        \vspace{2em}
        {
            \bfseries\sffamily\huge
            MAT1110
            %% Alternativt:
            %% EMNEXXXX \textthreequartersemdash\ NAVN P{\AA} EMNE
        }
        \vskip0.2ex
        \Large
        Obligatorisk oppgave 1 av 2 \\
        \vspace{1ex}
    \end{center}

    \subsubsection*{Innleveringsfrist}
    Torsdag 2. mars \the\year, klokken 14:30 i Canvas
    (\href{https://canvas.uio.no}{\underline{canvas.uio.no}}).

    \subsubsection*{Instruksjoner}
    Merk at man har \textbf{ett forsøk} på å få oppgaven godkjent. Dette betyr at det ikke lenger gis andregangsforsøk. 
    
    Du velger selv om du skriver besvarelsen for h{\aa}nd og scanner besvarelsen eller om du skriver l{\o}sningen direkte inn p{\aa} datamaskin (for eksempel ved bruk av \LaTeX).
    Besvarelsen skal leveres som {\'e}n PDF-fil.
    Scannede ark m{\aa} v{\ae}re godt lesbare.
    Besvarelsen skal inneholde navn, emne og oblignummer.

    Det forventes at man har en klar og ryddig besvarelse med tydelige begrunnelser.
    Husk {\aa} inkludere alle relevante plott og figurer.
    Samarbeid og alle slags hjelpemidler er tillatt, men den innleverte besvarelsen skal v{\ae}re skrevet av deg og reflektere din forst{\aa}else av stoffet.
    Er vi i tvil om du virkelig har forst{\aa}tt det du har levert inn, kan vi be deg om en muntlig redegj{\o}relse.

    I oppgaver der du blir bedt om {\aa} programmere m{\aa} du legge ved programkoden og levere den sammen med resten av besvarelsen.
    Det er viktig at programkoden du leverer inneholder et kj{\o}reeksempel, slik at det er lett {\aa} se hvilket resultat programmet gir. 

    \subsubsection*{S{\o}knad om utsettelse av innleveringsfrist}
    Hvis du blir syk eller av andre grunner trenger {\aa} s{\o}ke om utsettelse av innleverings\-fristen, m{\aa} du ta kontakt med studieadministrasjonen ved Matematisk institutt (e-post: \href{mailto:studieinfo@math.uio.no}{studieinfo@math.uio.no}) senest samme dag som innleveringsfristen.

    For {\aa} f{\aa} adgang til avsluttende eksamen i dette emnet, m{\aa} man best{\aa} alle obliga\-toriske oppgaver i ett og samme semester.

    \subsubsection*{For fullstendige retningslinjer for innlevering av obligatoriske oppgaver, se her:}
    \begin{center}
        \href{http://www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html}
        {\underline{www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html}}
        \vspace{1ex}        x
        \vfill
        LYKKE TIL!
    \end{center}
\end{titlingpage}


\noindent

%% Korrekt typesetting av prosent: \SI{60}{\percent}


\noindent F\o r vi starter minner vi om at standard basisvektorer for $\mathbb R^3$ er gitt ved
$$
{\bf e}_1=
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
0\\
\end{bmatrix},
{\bf e}_2=
\begin{bmatrix}
0\\
1\\
0\\
\end{bmatrix},
{\bf e}_3=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1\\
\end{bmatrix}.
$$
For enhver vektor 
$$
{\bf a}=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{bmatrix}
$$
har vi da at 
$$
{\bf a} = a_1\cdot{\bf e}_1 + a_2\cdot{\bf e}_2 + a_3\cdot{\bf e}_3.
$$

\medskip

\noindent{\bf NB:} Husk MATLAB/Python-utskrifter.

\begin{oppgave}



Vi definerer vektorer i $\mathbb R^3$: 
$$
{\bf v}_1=
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1\\
\end{bmatrix},
{\bf v}_2=
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
-2\\
\end{bmatrix},
{\bf v}_3=
\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0\\
\end{bmatrix}.
$$
%og lar $l:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R$ v\ae re gitt ved 
%$$
%l({\bf x})={\bf x\cdot v_1}. 
%$$
%Sett
%$$
%V=\{{\bf x}\in\mathbb R^3: l({\bf x})=0\}. 
%$$
%
\medskip

{\bf a)} Bruk MATLAB/Python til \aa{} vise at vektorene ${\bf v}_j$
st\aa r innbyrdes vinkelrett p\aa{} hverandre. 


\medskip

{\bf b)}  Finn en $(3\times 3)$-matrise $A$ slik at 
$A{\bf e}_j={\bf v}_j$ for $j=1,2,3$. \

Vis at for en vektor 
$$
{\bf a}=\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{bmatrix}
$$
s\aa{} har vi at 
$$
A\cdot {\bf a} = a_1\cdot{\bf v_1} +  a_2\cdot{\bf v_2} +  a_3\cdot{\bf v_3}. 
$$
%\begin{itemize}
%\item $2{\bf v}_1+{\bf v}_2 + 3{\bf v}_3 = 6{\bf e}_1$. 
%\item $2{\bf v}_1+{\bf v}_2 - 3{\bf v}_3 = 6{\bf e}_2$. 
%\item  ${\bf v}_1- {\bf v}_2  = 3{\bf e}_3$. 
%\end{itemize}

\medskip


{\bf c)}  Bruk MATLAB/Python til \aa{} finne den inverse matrisen $B$ til $A$. 
Verifiser i MATLAB/Python at $B{\bf v}_j={\bf e}_j$ for $j=1,2,3$. 


\medskip


{\bf d)} La ${\bf b}\in\mathbb R^3$.  Definer en vektor ${\bf a}\in\mathbb R^3$
ved
$$
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{bmatrix}
= B
\begin{bmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3\\
\end{bmatrix}.
$$

Forklar hvorfor vi har at 
$$
{\bf b} =  a_1\cdot{\bf v_1} +  a_2\cdot{\bf v_2} +  a_3\cdot{\bf v_3}. 
$$


\medskip
%
%$$
%A=\begin{bmatrix}
%1 & 1 & 1\\
%1 & 1 & -1\\
%1 & -2 & 0\\
%\end{bmatrix}
%$$
%$$
%B=\begin{bmatrix}
%1/3 & 1/3 & 1/3\\
%1/6 & 1/6 & -1/3\\
%1/2 & -1/2 & 0\\
%\end{bmatrix}
%$$
%


\end{oppgave}


\begin{oppgave}
Vi definerer en $(3\times 3)$-matrise $C$ ved

$$
C=\begin{bmatrix}
2/3 & 1/6 & 1/6\\
1/6 & 2/3 & 1/6\\
1/6 & 1/6 & 2/3\\
\end{bmatrix}
$$

\medskip

{\bf a)} Vis at vektorene ${\bf v}_j$ fra oppgave {\bf a} er egenvektorer 
for matrisen $C$ og finn de tilh\o rende egenverdiene. 

\medskip

{\bf b)}  Sett 
$$
{\bf b} = 
\begin{bmatrix}
3\\
7\\
2\\
\end{bmatrix}
$$
Finn 
$$
\lim_{n\rightarrow\infty} C^n{\bf b}. 
$$
Her er $C^n$ matrisen du f\aa r hvis du komponerer/multipliserer matrisen $C$ med seg selv $n$ ganger: 
$$
C^n = \underset{\mbox{$n$ ganger}}{C\cdot C\cdot ...\cdot  C}.
$$
\end{oppgave}


\begin{oppgave}
Vi parametriserer en kurve $\mathcal C$ i $\mathbb R^3$ ved 
$$
{\bf r}(t) = (\cos(t),\sin(t), 4\sin^2(4t)), t\in [0,\pi]. 
$$

\medskip

{\bf a)} Tegn kurven i MATLAB/Python. 

%\medskip
%
%Vi setter 
%$$
%\phi(x,y,z) = x^5 + x^2y^3 -e^{xyz}
%$$

\medskip

{\bf b)} Vi definerer et vektorfelt ${\bf F}:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^3$
ved 
$$
{\bf F}(x,y,z) =  (5x^4 + 2xy^3 - yze^{xyz}, 3x^2y^2 - xze^{xyz},-xye^{xyz})
$$
Beregn
$$
\int_{\mathcal C} {\bf F}\cdot d{\bf r}. 
$$



\end{oppgave}

\vskip 2cm

\noindent {\bf SLUTT}

\end{document}