\documentclass[11pt,
               a4paper,
               article,
               oneside,
               oldfontcommands,
               norsk]{memoir}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[scaled]{beramono}
\usepackage[final]{microtype}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{babel}
\usepackage{csquotes}
\usepackage{listings}
%\lstset{basicstyle = \ttfamily}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{xcolor}

\usepackage{graphicx}
\usepackage[colorlinks, allcolors = uiolink]{hyperref}



% Makroer for oppgaver
\newcounter{probnum}[section]
\newcounter{subprobnum}[probnum]

\newenvironment{oppgaver}{\vspace{12pt}\goodbreak \subsection*{Oppgaver}
\begin{list}{\bf Oppgave \arabic{probnum}.\ }
{\usecounter{probnum}\setlength{\itemsep}{6pt}}}{\end{list}\vfill\eject}

\newcommand{\oppgave}{\item}

\newenvironment{deloppgaver}{\begin{list}{\alph{subprobnum})}
{\usecounter{subprobnum}\setlength{\topsep}{3pt}
\setlength{\itemsep}{1.5pt}}}{\end{list}}

\newcommand{\deloppgave}{\item}


\pretolerance = 2000
\tolerance    = 6000
\hbadness     = 6000


\renewcommand{\sfdefault}{phv}
\definecolor{uiolink}{HTML}{0B5A9D}

\lstdefinelanguage{matlab}
{
  morekeywords={for,def,if,while,do,break,return,from,import,try,except,else,elif},
  sensitive=false,
  morecomment=[l]{\#}
}
  
\lstset{language=matlab,
  backgroundcolor=\color[rgb]{.95,.95,.95},
  numbers=left,xleftmargin=10pt,
  numberstyle=\tiny,stepnumber=1,numbersep=5pt,
  stringstyle=\color{red},
  basicstyle=\footnotesize \ttfamily,
  keywordstyle=\color{blue},
  commentstyle=\color{green},
  basewidth=0.60em,
  showstringspaces=false,
  captionpos=b,
  frame=single
}

\begin{document}
\begin{titlingpage}
    \vspace*{-8em}
    \setlength{\parskip}{1.5ex plus 0.5ex minus 0.2ex}
    \setlength{\parindent}{0pt}

    \begin{flushright}
        \small\today
    \end{flushright}

    \begin{center}
        \vspace{2em}
        {
            \bfseries\sffamily\huge
            MAT-INF 1100
            %% Alternativt:
            %% EMNEXXXX \textthreequartersemdash\ NAVN P{\AA} EMNE
        }
        \vskip0.2ex
        \Large
        Obligatorisk oppgave 2 av 2 \\
        \vspace{1ex}
    \end{center}

    \subsubsection*{Innleveringsfrist}
    Torsdag 21. oktober \the\year, klokken 14:30 i Canvas
    (\href{https://canvas.uio.no}{\underline{canvas.uio.no}}).

    \subsubsection*{Instruksjoner}
    Du velger selv om du skriver besvarelsen for h{\aa}nd og scanner besvarelsen eller om du skriver l{\o}sningen direkte inn p{\aa} datamaskin (for eksempel ved bruk av \LaTeX).
    Besvarelsen skal leveres som {\'e}n PDF-fil.
    Scannede ark m{\aa} v{\ae}re godt lesbare.
    Besvarelsen skal inneholde navn, emne og oblignummer.

    Det forventes at man har en klar og ryddig besvarelse med tydelige begrunnelser.
    Husk {\aa} inkludere alle relevante plott og figurer.
    Studenter som ikke f{\aa}r sin opprinnelige besvarelse godkjent, men som har gjort et reelt fors{\o}k p{\aa} {\aa} l{\o}se oppgavene, vil f{\aa} {\'e}n mulighet til {\aa} levere en revidert besvarelse.
    Samarbeid og alle slags hjelpemidler er tillatt, men den innleverte besvarelsen skal v{\ae}re skrevet av deg og reflektere din forst{\aa}else av stoffet.
    Er vi i tvil om du virkelig har forst{\aa}tt det du har levert inn, kan vi be deg om en muntlig redegj{\o}relse.

    I oppgaver der du blir bedt om {\aa} programmere m{\aa} du legge ved programkoden og levere den sammen med resten av besvarelsen.
    Det er viktig at programkoden du leverer inneholder et kj{\o}reeksempel, slik at det er lett {\aa} se hvilket resultat programmet gir. 

    \subsubsection*{S{\o}knad om utsettelse av innleveringsfrist}
    Hvis du blir syk eller av andre grunner trenger {\aa} s{\o}ke om utsettelse av innleverings\-fristen, m{\aa} du ta kontakt med studieadministrasjonen ved Matematisk institutt (e-post: \href{mailto:studieinfo@math.uio.no}{studieinfo@math.uio.no}) i god tid f{\o}r innleveringsfristen. 

    For {\aa} f{\aa} adgang til avsluttende eksamen i dette emnet, m{\aa} man best{\aa} alle obliga\-toriske oppgaver i ett og samme semester.

    \subsubsection*{For fullstendige retningslinjer for innlevering av obligatoriske oppgaver, se her:}
    \begin{center}
        \href{http://www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html}
        {\underline{www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html}}
        \vspace{1ex}        
        \vfill
        LYKKE TIL!
    \end{center}
\end{titlingpage}


\noindent
%Tilleggstekst spesielt for emnet, for eksempel krav til {\aa} f{\aa} obligen godkjent.
%% Korrekt typesetting av prosent: \SI{60}{\percent}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage


\begin{oppgaver}

\oppgave{Taylorapproksimasjon}
\begin{deloppgaver}

\deloppgave Finn Taylorapproksimasjonen av orden $3$ til funksjonen $f(x) = \arctan x$ i punktet $a=0$.

\deloppgave Lag et program som plotter grafene til funksjonen
$f(x) = \ln(x)$ og Taylorapproksimasjonene til $f$ av orden 1,2,3
i punktet $a=1$.
Grafene kan plottes for $x$ i intervallet $[0.05,1.95]$.
\end{deloppgaver}

\oppgave{Taylorapproksimasjon med restledd}

I denne oppgave skal vi studere funksjonen $f(x) = 1/x^2$.
\begin{deloppgaver}
\deloppgave Vis ved induksjon at $f^{(k)}(x) = (-1)^k (k+1)! / x^{k+2}$
for alle $k \ge 0$.

\deloppgave
Finn Taylorapproksimasjonen $T_nf(x)$ til $f$ om punktet $a=1$
og et uttrykk for restleddet $R_nf(x)$.

\deloppgave
Finn et naturlig tall $N$ slik at for alle $n \ge N$ og for alle
$x \in [1,1.25]$, er feilen i $T_nf(x)$ mindre enn $0.02$.
\end{deloppgaver}

\end{oppgaver}


\end{document}




