Research: Statistikk??

Hallo venner?! Velkommen tilbake?!

Tusen takk for den overveldende mengden positive responser p? v?r forrige bloggpost?! Det er g?y ? se at s? mange av dere ogs? har en dr?m om ? en dag dra ut i rommet?!

Som nevnt i forrige bloggpost er vi n?dt til ? simulere motoren f?r vi kan g? l?s p? resten av raketten?. Vi kom oss veldig langt sist, men f?r vi kan gj?re ferdig simuleringen av motoren er vi n?dt til ? vite litt om statistikk?!

Hva er egentlig statistikk??

Vel, statistikk handler om ulike m?ter ? se p? og samle inn interessante former for data?. Dette kan v?re mye forskjellig, for eksempel kan ett sett med data fokusere p? hvor ofte en tilfeldig and spiser PekingKu?. Det finnes ogs? flere m?ter ? analysere disse dataene p?. Ett eksempel er at man kan presentere gjennomsnittet av dataene. Alts?, hvis en and spiser PekingKu 6 ganger i en periode, og s? 2 ganger i en annen, vil gjennomsnittet av disse v?re 4, fordi det er middelverdien. Gjennomsnitt betyr da alts? middelverdi?! De fleste har h?rt om gjennomsnitt f?r, og bruker det ofte i dagliglivet. Derimot er det kanskje ikke like mange som har h?rt om begrepet standardavvik. Standardavviket beskriver hvor mye ett sett med data avviker fra gjennomsnittet?. Hadde anden plutselig spist PekingKu 12 ganger, n?r han vanligvis spiser 4, ville vi f?tt ett standardavvik p? 8. Dette er fordi det er avviket mellom gjennomsnittet og den st?rste verdien. N? som vi vet hva gjennomsnitt og standardavvik er kan vi g? videre til litt mer avansert statistikk??¡á?.

Har dette virkelig noe med motoren ? gj?re??

Joda det har det! Og n? skal vi se p? akkurat hva!

Innenfor statistikk finnes det flere ulike fordelinger. Med fordelinger s? menes ulike m?ter de innsamlede dataene sprer seg. Dette kan vises p? flere ulike m?ter, den vanligste m?ten er i form av en graf. Slike grafer kan se veldig ulike ut avhengig av hva man ?nsker ? vise. Det gjelder ogs? for den fordelingen vi skal se p?, nemlig Maxwell-Boltzmann-fordelingen for hastigheten til gasspartikler. 

N?r det kommer til hastigheten til gasspartikler vil den v?re veldig avhengig av b?de temperatur?? og masse??. Hvis temperaturen er h?y vil det gi partikkelen h?y kinetisk energi, som igjen vil f?re til at partikelen har h?y hastighet. Det motsatte gjelder ved lav temperatur. Dette f?lger av formelen for kinetisk energi. For massen sin del vil tunge partikler bevege seg saktere enn lette partikler. Dette leder oss til den andre antakelsen v?r; vi skal anta at drivstofftanken kun inneholder ren H2 gass?. Det vil si at drivstofftanken og forbrenningkammeret i v?r rakett vil fungere som en og samme del. 

For hastigheten sin del vil det si at alle partiklene er like tunge, og siden alle er i samme boks s? vil ogs? temperaturen v?re lik for alle. Dermed vil ogs? alle partiklene ha lik hastighet. Eller..??¡â?? Er det virkelig slik???

Har alle partiklene lik hastighet??

Det korte svaret er nei. Men dette gir jo null mening n?r vi nettopp har forklart hvorfor de har lik hastighet?. Det er her Maxwell-Boltzmann-fordelingen kommer inn?!

Selv om temperaturen?? er viktig for hastigheten til partikler, s? vil den bare kunne bestemme fordelingen av kinetisk energi blant partikklene. Dermed vil hastigheten variere, og dette kan vi analysere. Heldig vis s? slipper vi ? gj?re den tunge jobben, for det har Maxwell og Boltzmann allerede gjort for oss??!

Maxwell og Boltzmanns viktige oppdagelser???¡á?.

N? skal vi snart se p? Maxwell-Boltzmann-fordelingen for hastigheten til gasspartikler?. Men f?r vi kan se noen grafer, er vi n?dt til ? vite hvilken type hastighet det er vi ?nsker ? se. I boksen v?r kan vi se p? hastigheten til partikkelen i en retning, alts? hatstighetskomponenten. Da kan vi for eksempel se p? x-retning, slik vi gjorde i forrige bloggpost. MEN, vi kan ogs? se p? absoluttverdien av hastigheten, alts? hastighetsvektoren fra sist.

Maxwell-Boltzmanns fordelig for hastighetskomponenten??.

Den enkleste ? fors? er fordelingen for hastighetskomponenten. Grafen til denne fordelingen kan se slik ut??

Her ser vi at grafen har et tydelig toppunkt?, og at den er symmetrisk rundt dette toppunktet. N?r en graf er symmetrisk om et punkt slik som dette, s? kalles det en Gaussisk fordeling. Vi ser ogs? at toppunktet har x-verdien null. Dette kan forklares av bevegelsen til partikkelen??

N?r partikkelen beveger seg i x-retning vil den f?rst bevege seg mot  en retning, kollidere med veggen, og s? bevege seg motsatt vei. Selv om den da har en hastighet i begge retninger, vil gjennomsnittet av disse hastighetene bli null, siden den beveger seg like raskt i begge retninger??¡á??. Dette gjelder ogs? for alle andre partikler i alle retninger. S? grafene for x-retning, y-retning og z-retning vil se prikk like ut?.

Maxwell-Boltzmanns fordeling for absoluttverdien av hastigheten?.

N?r vi ser p? fordelingen til hastighetskomponenten s? ser vi egentlig p? hvor stor hastighet de ulike partiklene har i de ulike retningene, x, y og z. Grafen til denne fordelingen kan se slik ut??

Her ser vi at grafen fremdeles har et tydelig toppunkt?, men n? er den ikke symmetrisk lengre. N?r en graf ser skjev ut p? denne m?ten kalles det en kjikvadratfordeling. Grafen er da ''forskj?vet'' mot h?yre. ??Det er ogs? viktig ? huske at hastigheten aldri vil v?re null, siden partiklene alltid vil ha en hastighet. 

Men hvordan p?virker dette motoren v?r??

Hvis vi husker tilbake til forrige bloggpost s? sa vi at for ? vite hvor stor kraft hver partikkel ut?ver p? boksen s? m? vi vite hastigheten til hver partikkel. Med Maxwell-Boltzmann-fordelingen for absoluttverdien av hastigheten kan vi n? gj?re det?! Vi f?r fordelt hastighetskomponenter som f?lger fordelingen i hver retning, alts? b?de x-, y- og z-retning, og bruker dette i simuleringen v?r. Vi benytter oss ogs? av gjennomsnittshastigheten og standardavviket i simuleringen, for ? fordele hastighetene korrekt. For ? teste at vi f?r riktig fordeling har vi simulert hastigheten i boksen v?r for ? kunne se fordelingen vi f?r. Den ble slik¨L?

Denne fordelingen stemmer veldig godt over ens med Maxwell-Boltzmann-fordelingen for absoluttverdien av hastigheten?. Vi kan n? forutsi hastigheten til partiklene, og kan dermed g? videre p? simuleringen av motoren?!

Vi legger inn tilfeldige posisjoner for alle partikler i simuleringen. Vi legger ogs? til at simuleringen skal telle antall partikler ut, og fylle p? med tilsvarende mengde partikler. Dette kan vi bruke for ? beregne drivstofforbruket. N? er simuleringen ferdig og vi kan endelig teste om den fungerer?!

??...

Simuleringen fungerer og vi f?r gode og forventede resultater?! Vi kan n? fortsette p? v?r episke reise?!

Vi ses i neste bloggpost?!

Pax?