Som nevnt i forrige innlegg, m? bevegelsesmengden til partiklene som fyker ut av gasskammeret v?re stor nok for ? dytte raketten av planeten. Med andre ord: De m? ha en ekstrem fart! Vi trenger derfor en m?te ? f? oversikt over partiklenes hastigheter. Dette bruker vi statistikk til. Spenn dere fast n?, dette kan bli litt teknisk! Det er veldig forst?elig hvis dere synes statistikk er litt t?rt. Vi skal pr?ve ? gj?re det s? saftig som mulig, men advarer om at selv vi sliter med ? gj?re det supermorsomt. Vi kan uansett love at det faktisk er veldig kult!
Det er nok kjent for de fleste av dere lesere at hendelsene rundt oss bestemmes av sannsynligheter, hvor hendelsene som er mer sannsynlige skjer oftere enn hendelsene som er mindre sannsynlige. I statistikken fors?ker vi ? beskrive tingenes sannsynlighet med sannsynlighetsfordelinger. En av de mest kjente fordelingene er Gauss-fordelingen. Denne fordelingen ser ut som en slags hump, hvor humpen b?de kan v?re small og spiss, og bred og dump: Humpens topp er gjennomsnittsverdien, hendelsen med st?rst sannsynlighet, og humpens bredde bestemmes av standardavviket, nemlig hvor stor variasjon fra gjennomsnittet man har (se figur 1). Det som er kult med Gauss-fordelingen, er at den dukker opp i mange forskjellige sammenhenger, og det inkluderer rakettforskning!
Det viser seg nemlig at hastighetskomponentene til partikler i en ideell gass f?lger en Gaussisk fordeling! Men f?rst m? vi forklare kort hva en ideell gass er:
I en ideel gass er
gasspartiklene ikke-utstrakte punkter som kun interagerer med andre partikler og omgivelser gjennom elastiske kollisjoner. En elastisk kollisjon er en type st?t
hvor den totale kinetiske energien, alts? bevegelsesenergien, i kollisjonen er bevart.
Vi har alts? at hastighetskomponentene (farten i x-, y- og z-retning) til partiklene i en ideell gass f?lger en flott Gaussisk kurve som dere ser i figur 1. Den Gaussiske kurven som beskriver fordelingen til hastighetskomponentene har vi f?tt av v?re gode venner Boltzmann og Maxwell - som for?vrig var smarte nok til ? skj?nne at det var en god ide ? forlate denne infernalske planeten for mange ti?r siden. Fordelingsfunksjonen til Maxwell og Boltzmann (med fartsvektor) ser slik ut!
\(P(\overrightarrow{v})=(\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{1}{2}\frac{mv^2}{kT}} \)
hvor \(m\) er partikkelmassen, \(k \) er Boltzmanns konstant, \(T\) er gassens temperatur og \(v\) er farten til partiklene. Denne formelen gir oss sannsynligheten for at en partikkel har hastighetsvektor \(\overrightarrow{v}\). Dette er alts? en Gaussisk fordeling med gjennomsnittsverdi, alts? gjennomsnittsfart, \(\mu=0m/ s\), og standardavvik \(\sigma=\sqrt{\frac{kT}{m}}\).
Det virker kanskje litt rart at gjennomsnittsfarten er \(0\), men her m? vi huske p? at \(\overrightarrow{v}\) er en vektor. Dette betyr at retningen til farten faktisk har noe ? si! Siden vi har enormt mange partikler i gasstanken vil det i snitt alltid v?re en partikkel som har n?yaktig motsatt hastighet i forhold til en annen partikkel, slik at summen av alle hastighetene til partiklene blir null. Hvis vi funderer litt mer p? det kan det gi mening, n?r vi tenker p? at hastigheten til partiklene ikke er avhengig av hverandre, og at det er like sannsynlig at en partikkel beveger seg i den ene retningen som i den stikk motsatte retningen.
Uansett om vi forst?r det eller ikke, kan vi bruke fordelingen til ? lage en modell av gasskammeret! Det gj?r vi ved ? trekke ut masse forskjellige hastigheter fra fordelingen, og dele ut de forskjellige hastighetene til partiklene i gasskammeret. P? denne m?ten kan vi lage oss en hypotetisk rakettmotor med svirrende hydrogenmolekyler!
Den ene delen av simuleringen handler alts? om ? bruke sannsynlighetsfordelingen til hastighetskomponentene for ? hente ut masse forskjellige hastigheter og gi dem til partiklene. N?r vi etter hvert simulerer bevegelsen til partiklene i boksen, m? vi imidlertid ogs? vite hvorvidt partiklene har den farten vi forventer at de skal ha. Det er jo tross alt farten til partiklene ut av ?pningen som bestemmer hvor stor endringen i bevegelsesmengde blir! Dette er noe annet enn fartsvektoren! St?rrelsen til farten kaller vi ofte absoluttverdien til hastigheten, og denne f?lger en annen sannsynlighetsfordeling.
Heldigvis har de gode vennene v?re Maxwell og Boltzmann ogs? tenkt p? dette, og gitt oss en sannsynlighetsfordeling for st?rrelsen til farten til partikler i en ideell gass. Husk! N? ser vi bare p? hvor stor farten er, og bryr oss ikke om retningen. Fordelingsfunksjonen ser slik ut:
\(P(v)dv = (\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{1}{2}\frac{mv^2}{kT}}4\pi v^2dv\)
Selv om det er et litt stort og rart uttrykk, er det kjempenyttig for ? gi oss en indikasjon p? hvordan fordelingen av farten til partiklene i kammeret burde v?re ved en gitt temperatur. N?r vi gj?r simuleringer av rakettmotoren kan vi bruke fordelingsfunksjonen for ? se om partiklene har de hastighetene vi forventer at de skal ha! Hvis hastighetene er riktige, gir det oss en indikasjon p? at modellen v?r fungerer som den skal. N?r vi er sikre p? modellen, kan vi etter hvert endre p? parameretere som temperatur og antall partikler for ? se hvordan det p?virker ytelsen til motoren.
Det som ogs? er superkult, er at vi kan bruke fordelingsfunksjonen over for ? utlede et uttrykk for den gjennomsnittlige farten til et gassmolekyl ved en gitt temperatur. Dette er litt sm?-avansert matte, vi forventer ikke at dere skal forst? det! Dette er kun for de spesielt interesserte, dere andre m? gjerne hoppe videre...
Utgangspunktet er dette integralet:
\(\langle v\rangle=\int_0^\infty vP(v)dv\)
Vi erstatter deretter \(P(v)\) med uttrykket til sannsynlighetsfordelingen, \(P(v)=(\frac{m}{2\pi kT})^\frac{3}{2}e^{-\frac{1}{2}\frac{mv^2}{kT}4\pi v^2}\)
\(\begin{equation} \begin{split} \langle v\rangle & = \int_0^\infty v(\frac{m}{2\pi kT})^\frac{3}{2}e^{-\frac{1}{2}\frac{mv^2}{kT}}4\pi v^2dv \\ & = 4\pi (\frac{m}{2\pi kT})^\frac{3}{2}\int_0^\infty v^3e^{-\frac{1}{2}\frac{mv^2}{kT}}dv \\ \end{split} \end{equation}\)
Gj?r substitusjon med \(u=\frac{1}{2}\frac{mv^2}{kT}\), slik at \(\frac{kT}{mv}du=dv\). Da blir ogs? \(v^2=\frac{2kTu}{m}\).
\(\begin{equation} \begin{split} \langle v\rangle & = 4\pi (\frac{m}{2\pi kT})^\frac{3}{2}\int_0^\infty \frac{kT}{m}\frac{2kT}{m}ue^{-u}dv \\ & = 8\pi (\frac{m}{2\pi kT})^\frac{3}{2}(\frac{kT}{m})^2=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \end{split} \end{equation}\)
I siste overgang bruker vi at \(\int_0^\infty xe^{-x}dx=1\), som er oppgitt i notatene til orakelet v?rt, Frode Kristian Hansen.
Ok, wow! N? har vi faktisk et uttrykk for gjennomsnittsfarten til et molekyl i en gass, \(\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\), hvor \(k\) er Boltzmanns konstant, \(T\) er temperaturen i kelvin og \(m\) er massen til molekylet. Dette tar vi vare p?, vi kommer til ? trenge det senere...
N? har vi ganske god kontroll p? farten til gasspartiklene. Denne kunnskapen kan vi bruke for ? simulere deres bevegelse. I fysikk 1 l?rte dere at \(v=s'\). Dere kjenner kanskje ogs? til metoden for ? g? andre veien? Integrasjon ja! \(s = \int vdt\). Vi m? alts? integrere farten for ? f? strekningen...
Det er p? tide ? hente frem en kjent og kj?r formel fra fysikk 1:
\(s = s_0 +v*dt\)
Vi skal nemlig bruke denne bevegelseslikningen for ? integrere farten! F?rst pr?ver vi ? forst? likningen. Vi h?per dere allerede er godt kjent med sammenhengen mellom vei, fart og tid. Uttrykket rett over bygger p? akkurat dette. Vi vet at \(vei=fart*tid\). Hvis vi ser litt n?ye p? bevegelseslikningen ser vi at leddet \(v*dt\) bare er en annen m?te ? skrive \(fart*tid\) p?! Det betyr at vi i dette leddet legger til en liten strekning. Hvor kommer \(s_0\) fra da? Jo, \(s_0\) er den strekningen vi har forflyttet oss frem til det ?yeblikket vi gj?r beregningen, og m? derfor tas med for at vi skal f? en kontinuerlig bevegelse!
Hvis vi gjentar denne prosessen flere ganger, hvor vi stadig ?ker strekningen vi beveger oss ved ? legge til sm? biter av den totale strekningen, f?r vi til slutt en simulering av hele bevegelsen. Dette er en m?te ? gj?re integrasjon p? som passer veldig bra ? gj?re med datamaskiner, og kalles Euler-metoden! Datamaskiner er nemlig ikke s? gode p? analytiske integralberegninger, men helt formidabelt gode p? ? gj?re mange enkle beregninger p? kort tid! Derfor bruker vi Euler-metoden for ? simulere bevegelsen til partiklene.
P? denne m?ten lager vi et kammer med svirrende hydrogenmolekyler! Det er n? uttrykket for den gjennomsnittlige farten til et molekyl kommer inn, \(\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\). Vi kan nemlig beregne gjennomsnittsfarten til hvert hydrogenmolekyl og sjekke hvorvidt det stemmer med det teoretiske uttrykket for snittfarten. Stemmer de godt overens tyder det p? at vi har laget en god modell!
N? er det p? tide at vi stadfester noen parametere som er viktige for simuleringen. Siden det kommer til ? v?re veldig, veldig mange partikler i rakettens gasskammer, gj?r vi kammeret bittelite. Vi sier at det er formet som en kube med sider \(L=10^{-6} m\), alts? en milliondel av en meter! I bunnen har vi en kvadratisk ?pning med areal, \(A_{?pning}=0.25L^2\). Rakettmotoren skal selvf?lgelig ikke ha sider p? en milliondel av en meter, men denne tiln?rmingen gj?r at kammeret blir mye enklere ? simulere. Det er ingen grunn til ? tro at molekylene skal oppf?re seg annerledes i det lille kammeret enn i det store, s? lenge vi passer p? ? proporsjonere st?rrelsene riktig. N?r vi vet hvordan partiklene oppf?rer seg i det lille kammeret, skalerer vi det opp til riktig st?rrelse!
Vi oppsummerer dette innlegget, som handler om simuleringen av rakettmotoren:
1) Vi forenkler simuleringen ved ? lage et bittelite gasskamer. Vi definerer deretter st?rrelsen til ?pningen.
2) Vi bruker Maxwell-Boltzmanns fordelingsfunksjon p? vektorform for ? gi partiklene hver sin hastighet.
3) Vi integrerer farten ved ? bruke Eulers metode med bevegelseslikningen \(s = s_0+v*dt\).
4) Vi sjekker om simuleringen gj?r det den skal ved ? sammenlikne gjennomsnittsfarten til partiklene med uttrykket vi fant for snittfarten, og ved ? sammenlikne fordelingen til farten med Maxwell-Boltzmanns fordelingsfunksjon for partikkelfart.
Slik kan vi alts? simulere bevegelsen til partiklene i det bittelille kammeret. N? har vi muligheten til ? g? enda mer i dybden p? det som skjer i boksen under oppskytning... F?lg med videre!