Tilsynelatende unyttige matematiske l?resetninger kan bli samfunnsnyttige – bare vi venter lenge nok.
Da den norske matematikeren Niels Henrik Abel (1802–1829) skulle bevise hvorfor den generelle femtegradsligningen ikke kunne l?ses med pluss, minus, gange, dele eller kvadratrot, oppdaget han helt nye matematiske egenskaper til det som kalles elliptiske kurver.
Selv om Abel ble verdensber?mt for den nye matematiske oppdagelsen sin, var det i hans samtid trolig ingen som i sine villeste fantasier s? for seg at genistreken hans skulle komme til nytte nesten 200 ?r senere.
Oppdagelsen hans var ene og alene av teoretisk art – et vakkert stykke arbeid som drev matematikken videre, men som den gang ikke hadde noen praktisk verdi.
Likevel fikk den matematiske teorien hans plutselig, rundt ?rtusenskiftet, en samfunnsnyttig anvendelse og blir n? benyttet av oss alle – mange ganger daglig – uten at noen av oss vanlig d?delige skjenker det en eneste tanke.
– De abelske egenskapene til elliptiske kurver brukes i dag til ? kunne kommunisere sikkert p? Internett, slik som p? Google og i nettlesere, forteller professor Kristian Ranestad p? Matematisk institutt ved Universitetet i Oslo.
En viktig ingrediens i dagens sikkerhetssystem p? nett kalles elliptisk kurve-kryptografi. Denne metoden gj?r det mulig ? kryptere og dekryptere innhold p? nett.
– Elliptisk kurve-kryptografi er dagens aller mest kraftfulle matematiske verkt?y i kryptografi. Selv om elliptisk kurve-kryptografien har forbedret sikkerheten p? nett betraktelig, har Edward Snowdens avsl?ringer vist at det kreves nye tiltak. Elliptisk kurve-kryptografien vil derfor – sannsynligvis – fases ut, kanskje allerede innen ti ?r.
Kryptografi brukes til ? opprette en sikker kanal til den du kommuniserer med. Da vil informasjonen som sendes frem og tilbake, bli kryptert og dermed v?re uleselig for alle oss andre.
Hver gang vi kommuniserer p? nett, brukes elliptisk kurve-kryptografien til b?de ? generere en ny n?kkel som krypterer informasjonen, og en tilsvarende ny n?kkel som dekrypterer informasjonen tilbake igjen til leselig format hos mottakeren.
Det er her Abels oppdagelse kommer inn. De abelske egenskapene til elliptiske kurver brukes til ? lage den algoritmen, alts? den matematiske oppskriften, som trengs for ? utveksle krypterings-n?kler mellom sender og mottaker p? en sikker m?te.
Sikkerhetsalgoritmene p? nettet bruker den elliptiske kurven til tredjegradsligningen
y2 = x3 + ax + b.
Uansett hvilke konstanter som brukes i ligningen, alts? uansett hvilke verdier som velges til a og b, har ligningen et uendelig antall l?sninger. I kryptografien brukes et endelig antall l?sninger, men det endelige antallet er likevel sv?rt h?yt.
– Hver l?sning av ligningen kan brukes til en personlig kode. Hvis en tredje person skal pr?ve ? knekke koden, m? et sv?rt stort antall l?sninger pr?ves.
Evigvarende sannhet
Det fascinerende med Abels teorier, og selvf?lgelig med all annen matematikk, er at matematikken, i motsetning til absolutt alle andre fag, er den eneste vitenskapen der enhver ny teori har en evigvarende sannhet.
– Det betyr at enhver matematisk l?resetning, uansett om den er fremsatt p? Abels tid eller i antikken, er evige, allmenngyldige regler som gjelder uavhengig av tid og rom.
Euklids elementer, som ble skrevet ned allerede 300 ?r f.Kr., er brukt i l?reb?ker i geometri i 2000 ?r. Alle kjenner ogs? til den ber?mte l?resetningen til Pytagoras, som d?de et par hundre ?r f?r Euklid. L?resetningen hans har en like naturlig plass i skolematematikken i dag.
– Du kan godt beskrive dette som et tegn p? det uforanderlige i matematikken.
Mye matematikk er skapt gjennom andre fagomr?der. Den viktigste drivkraften har v?rt fysikk.
– Fysikk og matematikk har g?tt h?nd i h?nd gjennom historien. Kompliserte fenomener i fysikk utfordrer og utvikler matematikken, men samtidig bruker fysikerne matematikk til ? beskrive kompliserte fenomener.
Fysikerne har gjennom historien forlatt og endret mange teorier.
– Takket v?re bedre og bedre m?leinstrumenter og utvikling av teoretiske modeller har det v?rt mulig ? stille helt nye sp?rsm?l om naturen. Fysikernes beskrivelse av naturen i antikken var veldig begrenset i forhold til hva fysikerne beskriver i dag, men de matematiske setningene som ble formulert den gang, har den samme verdien n? og inng?r like naturlig i matematikken den dag i dag.
Akkurat som fysikerne stadig har nye grensesprengende oppdagelser, er det ogs? stadig nye grensesprengende oppdagelser i matematikk. For ? forst? nye ting i matematikken m? matematikerne utvikle nye l?resetninger.
– De matematiske teoriene har utviklet seg slik at mye av den matematikken vi forsker p? i dag, ikke kunne ha blitt formulert matematisk for bare 50 ?r siden.
L?ste g?te med Abel
Et av historiens mest kjente matematiske problem var Fermats siste sats fra 1637. Den enkle problemstillingen voldte matematisk besv?r i 360 ?r. Han slo fast, uten ? legge frem noe bevis, at det ikke finnes noen heltallige l?sninger for den utvidete Pytagoras-ligningen xn + yn = zn der n er st?rre enn 2.
F?rst p? slutten av 1990-tallet ble g?ten omsider l?st av den britiske matematikeren Andrew Wiles, som i ?r fikk Abelprisen for arbeidet.
– Beviset til Wiles bygde p? matematiske teorier som ble dannet lenge etter Fermats d?d. Fermat hadde derfor ingen forutsetninger til ? formulere dette beviset, poengterer Kristian Ranestad.
For ? komme i m?l m?tte Andrew Wiles blant annet ty til Abels elliptiske kurver.
– Kan den nye matematikken til Wiles, akkurat som Abels teorier, f? praktiske anvendelser?
– Den kan ikke brukes konkret i dag, men vi skal ikke se bort ifra at den kan komme til nytte en gang i fremtiden.
Andrew Wiles jobber for tiden med ? l?se ett av de sju millenniumsproblemene i matematikk. De ble lansert i ?r 2000 og omfatter noen av de st?rste matematiske utfordringene i v?r tid. Ett av problemene er allerede l?st. Wiles arbeider med ? l?se Birch-Swinnerton-Dyers-formodningen, som beskriver mengden av rasjonelle l?sninger av ligninger som definerer en elliptisk kurve.
– Jeg blir ikke overrasket om dette ogs? kommer til anvendelse, mener Kristian Ranestad og legger til at matematikken opererer mellom to ytterpunkter.
– Det ene ytterpunktet er den anvendte matematikken som brukes overalt i samfunnet. Selv om denne matematikken er skjult for oss alle, kommer den til nytte hele tiden. Det andre ytterpunktet er morsomme sp?rsm?l som: Finnes et uendelig antall primtalltvillinger? Dette matematiske problemet har i dag ingen opplagt anvendelse, poengterer Kristian Ranestad.