I sommer var rundt 300 matematikere samlet til den store Abel-konferansen p? Universitetet i Oslo. N? ferdigstilles boka fra symposiet: ”The Legacy of Niels Henrik Abel” – Abels arv. Matematikkprofessorene Olav Arnfinn Laudal og Ragni Piene ved UiO er redakt?rer for verket som blir utgitt p? tyske Springer Verlag etter nytt?r. – Vi ?nsket ikke ? lage en vanlig artikkelsamling – en ”proceedings” – fra konferansen, hvor forskerne stort sett trekker fram sine egne ting. Allerede for to ?r siden ble flere spesialister kontaktet og bedt om ? jobbe spesifikt med prosjekter innenfor Abels vitenskapelige, matematiske nedslagsfelt. Den utfordringen har de fleste tatt, og alle artiklene i boka blir n? fokusert p? arven fra Abels matematikk og p? Abels innflytelse i dag, forteller Laudal. Han mener viljen til ? fokusere p? Abel viser hvilken betydning de snart 200 ?r gamle ideene har for dagens matematikere.
Klassiske problemstillinger
Men hva best?r arven etter Abel i? If?lge Laudal er det to tiln?rminger til dette sp?rsm?let. Den f?rste dreier seg om de klassiske matematiske problemstillingene som Abel leverte viktige bidrag til:
1) Likningsteori: Her er Abel blant annet kjent for ? ha bevist at femtegradslikningen ikke lar seg l?se ved hjelp av de fem klassiske regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon samt rotutdragning. For ? vise dette, studerte Abel hvordan l?sningene m?tte se ut hvis en bare bruker disse fem regneoperasjonene. Fordi egenskapene til slike l?sninger kunne vises ? v?re uforenelige med egenskapene til l?sningene av den generelle femtegradslikning, er satsen bevist.
2) Gruppeteori: De likningene Abel fant var l?sbare ved hjelp av de fem klassiske regneoperasjonene, svarer til de likningene som har kommutative symmetrigrupper, slike som i dag kalles 'abelske grupper'. Dette ledet igjen til den generelle likningsteori, som noen ?r etter ble funnet av en annen ung matematiker, Evariste Galois, og til den generelle gruppeteori, som ikke bare har interesse innenfor matematikken, men er like viktig innen fysikk og all annen naturvitenskap.
3) Symmetribegrepet: Analysen av abstrakte og fysiske systemer hvor symmetri er til stede, ledet til studiet av symmetrigruppene til generelle matematiske objekter. Dette studiet ble videref?rt av den andre giganten i norsk matematikk, Sophus Lie, og lever i dag som Lie-teori, Lie-grupper, Lie-algebraer etc.
4) Algebraisk geometri eller kompleks geometri: P? dette feltet g?r selve f?dselen tilbake til Abel.
5) Rigor?sitet i matematikken: Abel var en av de f?rste som tvang gjennom rigor?se bevis for hele felter innen matematikken. En av dem som tidlig tok utgangspunkt i Abels ideer, var den tyske matematikeren Bernhard Riemann, som utviklet den algebraiske og komplekse geometri p? 1850-tallet. I dag g?r mange matematikere direkte til Riemann og Abel n?r de skal jobbe med disse problemstillingene.
Avansert fysikk
– Den andre m?ten ? se p? Abels innflytelse, er mer mangslungen, og i den kommende boka belyser fem framtredende matematikkhistorikere dette komplekse temaet p? nye m?ter. Det dreier seg blant annet om hvordan Abels ideer har dannet grunnlaget for virksomhet innen andre felter som for eksempel innenfor teoretisk fysikk, sier Laudal.
Han trekker fram fenomenet ”strengteori” som et eksempel p? dette. Bakgrunnen for denne typen teori er problemene med ? integrere kvantemekanikken og relativitetsteorien, et problem Einstein jobbet med helt til sin d?d. Mens relativitetsteorien brukes til ? beskrive universets egenskaper i stor skala, er kvantemekanikken den teorien man anvender for ? studere naturen p? atomniv?. Problemet er at disse to teoriene ikke harmonerer og er sv?rt motstridende s?rlig n?r det gjelder beskrivelser av ekstreme fenomener som svarte hull eller tiden n?r ”the big bang”. Derfor har fysikerne utviklet nye teorier, som kalles ”strengteori” eller ”superstrengteori” og det er her Abels innflytelse p? algebraisk og analytisk geometri er en viktig forutsetning.
– Den mest avanserte teoretiske fysikken bruker i dag andre virkemidler enn for bare 20-30 ?r siden. Essensielt er det slik at man g?r fra en differensial-geometrisk basis til en algebraisk-geometrisk basis, og for denne siste er man helt avhengig av Abels og Riemanns teorier, forklarer Laudal.
Vakker matematikk
En anekdote forteller om en av forrige ?rhundredes matematiske storheter, Alexander Grothendieck, som knyttet Abels navn til en spesielt viktig kategori og fikk sp?rsm?l om hvorfor han gjorde det. ”Fordi slike kategorier er vakre,” svarte Grothendieck. – Jeg vet ikke om noen annen matematiker som gir et slikt ”kick” som Abel. Mange som leser Abel i dag, blir sl?tt av hans evne til ? formulere og l?se problemene i en mest mulig generell form. Det er uhyre tilfredsstillende og estetisk. Alle framhever det vakre ved Abels matematikk, og dette poenget er viktig for ? forst? interessen for ham i dag. V?r tids toppmatematikere gir Abel en stadig st?rre anerkjennelse for idéskapningen han bidro med, konkluderer Laudal. Han understreker samtidig at entusiasmen for Abel er slik at det kan v?re en fare for at man tillegger ham for stor betydning. Den nye boka s?ker derfor ? gi et mest mulig objektivt bilde av arven etter Abel.
I dag kan datamaskinene foreta astronomiske regneoperasjoner som f?r var umulige ? gjennomf?re. Er det lett for dagens matematikere ? fokusere for sterkt p? den tekniske utviklingen? – Datamaskinene kan regne fenomenalt fort, men maskinene kan ikke lage modeller. Maskinene regner eksempler, men modellene kommer "innenfra" og er uttrykk for en menneskelig kreativitet. Noe av det aller viktigste med Abels teorier er at de er s? generelle. De har lite med dagens datamaskiner ? gj?re, konstaterer Laudal.